7 已知一热电偶的时间常数\(\tau=10s\)，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在 540℃至 500℃之间接近正弦曲线波动，周期为 80s，静态灵敏度 K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
1.输入：？+？sin（？t）
2.输出：？+？sin（？t==+？==）
3.幅值误差是百分之几？幅值误差公式原本的的k是什么？相角是多少度？
4.延迟时间是\(\frac{\phi}{360} \cdot T\)
5.独立完成题目：
已知一热电偶的时间常数\(\tau=10s\)，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在 540℃至 500℃之间接近正弦曲线波动，周期为 80s，静态灵敏度 K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
1—8 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即 \(\frac{d^2 y}{dt^2} + 3.0 \times 10^3 \frac{dy}{dt} + 2.25 \times 10^{10} y = 11.0 \times 10^{10} x\) 式中，\(y\)——输出电荷量，pC；\(x\)——输入加速度，m/s²。试求其固有振荡频率 \(\omega_n\) 和阻尼比 \(\zeta\)。
二阶微分方程的抽象展开是？ \((\tau^2+2\zeta \tau +1)Y=kX\) \((\tau+1)Y=kX\)
2—13 现有基长为 10mm 与 20mm 的两种丝式应变片，欲测钢构件频率为 10kHz 的动态应力，若要求应变波幅测量的相对误差小于 0.5%，试问应选用哪一种？为什么？
\(\lambda = v / f = 5000 / (10 \times 10^3) = 0.5 \, (\text{m})\) \(l_0 = 10\text{mm}\) 时 \(\delta_1 = \frac{\lambda}{\pi l_0} \sin \frac{\pi l_0}{\lambda} - 1 = \frac{500}{\pi \times 10} \sin \left( \frac{10}{500} \times 180^\circ \right) - 1 = -0.066\%\) \(l_0 = 20\text{mm}\) 时 \(\delta_2 = \frac{500}{\pi \times 20} \sin \left( \frac{20}{500} \times 180^\circ \right) - 1 = -0.26\%\) 由此可见，应选用基长 \(l_0 = 10\text{mm}\) 的应变片。
某压电晶体的电容为 \(1000\,\text{pF}\)，\(k_q = 2.5\,\text{C/cm}\)，电缆电容 \(C_c = 3000\,\text{pF}\)，示波器的输入阻抗为 \(1\,\text{M}\Omega\)，并联电容为 \(50\,\text{pF}\)。求：
(1) 压电晶体的电压灵敏度 \(K_u\)；
(2) 测量系统的高频响应；
(3) 若系统允许的测量幅值误差为 5%，可测最低频率是多少？
(4) 若频率为 \(10\,\text{Hz}\)，允许误差为 5%，用并联连接方式，电容值是多大？
解：
(1) 电压灵敏度：
$\(
K_u = \frac{k_q}{C_a} = \frac{2.5}{1000 \times 10^{-12}} = 2.5 \times 10^9\,\text{V/m} = 2.5 \times 10^7\,\text{V/cm}
\)$
(2) 高频响应： $\( K(\omega \to \infty) = \frac{k_q}{C_a + C_c + C_i} = \frac{2.5}{(1000 + 3000 + 50) \times 10^{-12}} \approx 6.17 \times 10^8\,\text{V/m} \)$
(3) 系统时间常数： $\( \tau = R(C_a + C_c + C_i) = 10^6 \times (4050 \times 10^{-12}) = 4.05 \times 10^{-6}\,\text{s} \)\( 固有角频率： \)\( \omega_n = \frac{1}{\tau} \approx 247\,\text{rad/s} \)\( 当允许误差为 5% 时，解得： \)\( \frac{\omega}{\omega_n} = 3.0424 \Rightarrow \omega = 751.5\,\text{rad/s} \Rightarrow f \approx 119.6\,\text{Hz} \)$
(4) 若要求 \(f = 10\,\text{Hz}\) 时误差 ≤ 5%，则： $\( \omega = 2\pi \times 10 = 62.83\,\text{rad/s},\quad \omega_n = \frac{\omega}{3.0424} \approx 20.65\,\text{rad/s} \)\( 所需总电容： \)\( C = \frac{1}{\omega_n R} = \frac{1}{20.65 \times 10^6} = 4.84 \times 10^{-8}\,\text{F} = 48400\,\text{pF} \)$
分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前置放大器，\(C_{\text{总}} = 1000\,\text{pF}\)，\(R_{\text{总}} = 500\,\text{M}\Omega\)；传感器固有频率 \(f_0 = 30\,\text{kHz}\)，阻尼比 \(\zeta = 0.5\)，求幅值误差在 2% 以内的使用频率范围。
解：
上限频率：由二阶系统幅频特性：
$\(
\gamma = \left| \frac{1}{\sqrt{(1 - (\omega/\omega_n)^2)^2 + (2\zeta \omega/\omega_n)^2}} - 1 \right| \leq 2\%
\)\(
解得 \)\omega/\omega_n \leq 0.205\(，故：
\)\(
f_H = 0.205 \times 30 = 6.15\,\text{kHz}
\)$
下限频率：由一阶高通特性： $\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + (1/(\omega \tau))^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega / \omega_n)^2}} 0.98 \)\( 解得 \)\omega RC = 4.924\(，故： \)\( f_L = \frac{4.924}{2\pi RC} = \frac{4.924}{2\pi \times 500 \times 10^6 \times 1000 \times 10^{-12}} \approx 1.57\,\text{Hz} \)$
有效频率范围为 1.57 Hz ~ 6.15 kHz。
石英晶体压电式传感器，面积 \(100\,\text{mm}^2\)，厚度 \(1\,\text{mm}\)，弹性模量 \(9 \times 10^{10}\,\text{Pa}\)，电荷灵敏度 \(2\,\text{pC/N}\)，相对介电常数 \(5.1\)，绝缘电阻 \(10^{14}\,\Omega\)。外并 \(20\,\text{pF}\) 电容与 \(100\,\text{M}\Omega\) 电阻。若所加力 \(F = 0.01 \sin(1000t)\,\text{N}\)，求：
(1) 两极板间电压峰—峰值；
(2) 晶体厚度的最大变化。
解：
(1) 晶体电容：
$\(
C_a = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 5.1 \times 100 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-3}} \approx 4.5\,\text{pF}
\)\(
总电容 \)C = 4.5 + 20 = 24.5\,\text{pF}\(，总电阻 \)R \approx 100\,\text{M}\Omega\(
电荷幅值：
\)\(
Q_m = 2 \times 0.01 = 0.02\,\text{pC}
\)\(
输出电压幅值，我们给了频率，所以要用一阶特性公式，而不是\)\omega \rightarrow \infty\(的公式：
\)\(
U_m = \frac{\omega R Q_m}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} = \frac{1000 \times 10^8 \times 0.02 \times 10^{-12}}{\sqrt{1 + (1000 \times 10^8 \times 24.5 \times 10^{-12})^2}} \approx 0.756\,\text{mV}
\)\(
峰—峰值：
\)\(
U_{pp} = 2U_m \approx 1.512\,\text{mV}
\)$
(2) 应变： $\( \varepsilon_m = \frac{F_m}{SE} = \frac{0.01}{100 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^{10}} = 1.11 \times 10^{-9} \)\( 厚度变化幅值： \)\( \Delta d_m = d \varepsilon_m = 1 \times 1.11 \times 10^{-9}\,\text{mm} \)\( 峰—峰值： \)\( \Delta d = 2.22 \times 10^{-12}\,\text{m} \)$
用压电式传感器测量最低频率为 \(1\,\text{Hz}\) 的振动，要求在 \(1\,\text{Hz}\) 时灵敏度下降不超过 5%。若总电容为 \(500\,\text{pF}\)，求电压前置放大器的输入电阻。
解：
由一阶高通特性：
$\(
\frac{1}{\sqrt{1 + (1/\omega RC)^2}} \geq 0.95 \Rightarrow \omega RC = 3.04
\)\(
\)\(
R = \frac{3.04}{2\pi \times 1 \times 500 \times 10^{-12}} \approx 968\,\text{M}\Omega
\)$
笔记 压电放大器 一阶RC电路核心公式： \(R \cdot (\omega_n C) = 1\) 有了这个，就可以把电阻电容参数转换为建模所需参数。 对于电压放大，C是\(C_i+C_c+C_a+C_并\) 对于电荷放大，C是\(C_F\)，（所以和放大倍数无关） \(\omega_n\)是固有频率，也是下限频率。题目中实际求的下限频率按照一阶幅值公式计算。